t_wの輪郭

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類似度コサインcosine類似度の計算方法cos

コサイン類似度

2023/9/5 22:51:00

二つのベクトルの成す角を類似度として扱うやつ

1：似てる
0：無関係
-1：似てない

$$ cos(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(X_i^2)} \sqrt{\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2)}} $$
コサイン類似度からなる損失関数の微分コサイン類似度を目標値に近づけるコサイン類似度を目標値に近づける勾配の微分の計算過程（できてない）あれあれ「Dot Product Attentionの処理は概ねcos類似度の計算と同様な処理」あれベクトル同士の角度をベクトルの『類似度』として見なしてるんですねぇ『Fast top-K Cosine Similarity Search through XOR-Friendly Binary Quantization on GPUs』ビット列のコサイン類似度あれ

数値微分と結果が一致することを確認できた


コサイン類似度: \( cos(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(X_i^2)} \sqrt{\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2)}} \)

目標とする類似度: \(t\)

コサイン類似度からなる損失関数: \( L(X, Y, t) = (t- cos(X, Y))^2 \)

より

コサイン類似度からなる損失関数を\(X_i\)について偏微分した式

$$ \frac{\partial L(X, Y, t)}{\partial X_i} = \frac{\partial(t-cos(X,Y))^2}{\partial X_i} = \frac{\partial(t-cos(X,Y))^2}{\partial (t-cos(X,Y))} \frac{\partial(t-cos(X,Y))}{\partial cos(X,Y)} \frac{\partial cos(X,Y)}{\partial X_i} $$

を求める。


$$ \frac{\partial(t-cos(X,Y))^2}{\partial (t-cos(X,Y))} = 2(t-cos(X,Y))$$
$$ \frac{\partial(t-cos(X,Y))}{\partial cos(X,Y)} = -1 $$
$$ \frac{\partial cos(X,Y)}{\partial X_i} = \frac{\partial \frac{\sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(X_i^2)} \sqrt{\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2)}}}{\partial X_i} $$
$$ = \frac{\partial (\sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i) ({\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}} (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}}})}{\partial X_i} $$
$$ = \frac{\partial (\sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i))}{\partial X_i} (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}} (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} + \sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i) \frac{\partial ((\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}})}{\partial X_i} (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} $$
$$ = Y_i (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}} (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} + \sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i) \frac{\partial (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}}}{\partial (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))} \frac{\partial (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))}{\partial X_i} (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} $$
$$ = Y_i (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}} (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} + \sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i) (-\frac{1}{2} (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{3}{2}} 2X_i) (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} $$
$$ = Y_i (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}} (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} - X_i \sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i) (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{3}{2}} (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} $$
$$ = (\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} (Y_i (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}} - X_i \sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i) (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{3}{2}}) $$

より

$$ \frac{\partial L(X, Y, t)}{\partial X_i} = 2(t-cos(X,Y)) (-1) ((\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} (Y_i (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}} - X_i \sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i) (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{3}{2}}) $$
$$ = -2(t-cos(X,Y)) ((\sum_{i=1}^{N}(Y_i^2))^{-\frac{1}{2}} (Y_i (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{1}{2}} - X_i \sum_{i=1}^{N}(X_i Y_i) (\sum_{i=1}^{N}(X_i^2))^{-\frac{3}{2}}) $$

あれ

2023/9/5 22:52:00

デライトの数式表示機能にマジ感謝のガンジャ

あれ

2023/9/3 16:12:00
\[ \cos(\vec{X}, \vec{Y}) = \frac{ \sum_{i = 1}^{N}(X_i Y_i) }{ \sqrt{\sum_{i = 1}^{N}({X_i}^2)} \sqrt{\sum_{i = 1}^{N}({Y_i}^2)} } \]

あれ

2023/7/25 9:39:00

sentence embeddingの学習のために、コサイン類似度（cos(X,Y) - target_similarity)^2 の微分がしたいが、もはや微分は記憶の彼方。