AI作
2025/3/17 10:00:00
ChatGPTによるDCT-IIの微分
2025/3/10 5:02:00
DCT-IIの定義は
\[
X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos\!\left(\frac{\pi}{N}\Bigl(n+\frac{1}{2}\Bigr)k\right)
\]
となっています。ここで、\( x[n] \) は入力系列です。この式は線形和であり、各 \( x[n] \) は独立した変数です。そのため、ある特定の \( m \) に対して偏微分を考えると、
\[
\frac{\partial X(k)}{\partial x[m]} = \cos\!\left(\frac{\pi}{N}\Bigl(m+\frac{1}{2}\Bigr)k\right)
\]
となります。すなわち、\( x[m] \) に関する偏微分は、その項の係数である余弦関数そのものとなります。